Kiến thức lớp 10 là một trong những kiến thức quan trọng trong các bài thi đại học. Chính vì vậy việc nắm rõ các công thức Toán học lớp 10 quan trọng có thể giúp các em đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán hơn.
Trong bài viết này, TrangEdu tổng hợp danh sách toàn bộ các công thức Toán học lớp 10 quan trọng, có tính ứng dụng cao trong các bài tập, đề ôn thi đại học.
A. CÔNG THỨC TOÁN 10 – PHẦN ĐẠI SỐ
I. Các công thức về bất đẳng thức
*Tính chất 1: a > b và b > c => a > c (tính chất bắc cầu)
*Tính chất 2: a > b => a + c > b + c
Có nghĩa là nếu bạn cộng 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số, ta được một bất đẳng thức không thay đổi về chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
*Quy tắc chuyển vế: a > b + c => a – c > b
*Tính chất 3:
$\left\{\begin{matrix}
a > b \\ c > d
\end{matrix}\right. => a + c > b + d$
*Tính chất 4: a > b => a.c > b.c (nếu c > 0) hoặc a.c < b.c (nếu c < 0)
*Tính chất 5:
$\left\{\begin{matrix}
a > b > 0 \\ c > d > 0
\end{matrix}\right. => a.c > b.d$
Có nghĩa là: Nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều, ta được một bất đẳng thức cùng chiều. (Không có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều).
*Tính chất 6:
$a > b > 0 => a^{n} > b^{n}$ (n nguyên dương)
*Tính chất 7:
$a > b > 0 => \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ (n nguyên dương)
*Bất đẳng thức Cô-si:
Nếu $a \geq 0$ và $b \geq 0$ thì $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Có nghĩa là trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Ta có hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Về ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Về ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất.
*Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:
$\left|x\right| = x$ nếu x > 0 và $\left|x\right| = -x$ nếu x < 0.
Từ định nghĩa suy ra $\forall x \in R$, ta có:
$\left| x \right| \geq 0$
$\left|x \right|^{2}=x^{2}$
$x \leq \left|x\right|$ và $-x \leq \left| x\right|$
Định lí: Với mọi số thực a và b, ta có:
$\left| a + b\right|\leq \left| a\right| + \left| b\right|$ (1)
$\left| a – b\right|\leq \left| a\right| + \left| b\right|$ (2)
$\left| a + b\right| = \left|a \right| + \left| b\right|$ khi và chỉ khi $a.b \geq 0$
$\left| a – b\right| = \left|a \right| + \left| b\right|$ khi và chỉ khi $a.b \leq 0$
II. Các công thức về phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ $(a\neq 0)$
1. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai: $\Delta = b^{2} -4ac$
- Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm
- Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = -\frac{b}{2a}$
- Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
$x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
2. Công thức tính nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Trường hợp “b chẵn” (ví dụ b = 2, 4, $2\sqrt{2}$, 2m-2(m+1)) ta có thể sử dụng công thức nghiệm thu gọn như sau:
$\Delta’= b’^{2} – ac$
$b’=\frac{b}{2}$
- Nếu $\Delta’ < 0$: Phương trình vô nghiệm
- Nếu $\Delta’ = 0$: Phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = -\frac{b’}{a}$
- Nếu $\Delta’ > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_{1} = \frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}$
$x_{2} = \frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}$
Lưu ý: $ax^{2} + bx + c = 0 = a(x-x_{1})(x-x_{2})$ với $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$
3. Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc 2: $ax^{2} + bx + c = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì:
$\left\{\begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \\ P = x_{1} + x_{2} = \frac{c}{a}
\end{matrix}\right.x$
4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $[\begin{matrix}
x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a}
\end{matrix}$ - Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $[\begin{matrix}
x_{1} = -1 \\ x_{2} = -\frac{c}{a}
\end{matrix}$
5. Dấu của nghiệm số $ax^{2} + bx + c = 0 $ $(a\neq 0)$
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: $x_{1} < 0 < x_{2} \Leftrightarrow P < 0$
- Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: $0 < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta > 0 \\ P > 0
\\ S > 0
\end{matrix}\right.$ - Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt $x_{1} < x_{2} < 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta >0 \\P>0
\\S<0
\end{matrix}\right.$
III. Các công thức về dấu của đa thức
1. Dấu của nhị thức bậc nhất: $f(x) = ax + b$ $(a\neq 0)$
| x | $-\infty $ $-\frac{b}{a}$ $+\infty $ |
| ax + b | trái dấu a 0 cùng dấu a |
2. Dấu của tam thức bậc hai: $f(x) = ax^{2} + bx + c$ $(a\neq 0)$
- $\Delta<0: f(x)$ cùng dấu với hệ số a
- $\Delta>0: f(x)$ trái dấu với hệ số a với $\forall x \neq \frac{-b}{2a}$
- $\Delta=0: f(x)$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$:
| x | $-\infty$ $x_{1}$ $x_{2}$ $+\infty$ |
| f(x) | cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a |
3. Dấu của đa thức bậc $\geq3$: Bắt đầu tư ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.
IV. Các công thức về điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R
Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^{2} + bx + c$ $(a\neq 0)$
$f(x)>0$ $\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a > 0 \\\Delta <0
\end{matrix}\right.$
$f(x) \geq 0$ $\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a>0 \\\Delta \leq 0
\end{matrix}\right.$
$f(x)<0$ $\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a<0 \\ \Delta <0
\end{matrix}\right.$
$f(x)\leq0$ $\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a<0 \\ \Delta \leq0
\end{matrix}\right.$
V. Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối
1. Phương trình
$\left|A\right| = A$ nếu $A\geq0$ và $\left|A\right| = -A$ nếu A < 0.
$\left|A\right|=\left|B\right|\Leftrightarrow [\begin{align*}A &=B \\A&=-B \end{align*}$
2. Bất phương trình
$\left| A\right|<B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A\leq B \\A\geq -B
\end{matrix}\right.$
$\left| A\right|\leq B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A\leq B \\A\geq -B
\end{matrix}\right.$
$\left| A\right|>B \Leftrightarrow [\begin{matrix} A<-B \\ A>B \end{matrix}$
$\left| A\right|\geq B \Leftrightarrow [\begin{matrix} A\leq -B \\A\geq B \end{matrix}$
$\left| A\right|<\left| B\right|\Leftrightarrow A^{2}<B^{2} \Leftrightarrow A^{2}-B^{2}<0\Leftrightarrow (A-B)(A+B)<0$
$\left| A\right|\leq \left| B\right|\Leftrightarrow A^{2}\leq B^{2}\Leftrightarrow A^{2}-B^{2}\leq 0$
VI. Công thức toán lớp 10 về phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
1. Phương trình
$\sqrt{A} = B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
B\geq 0 \\A=B^{2}
\end{matrix}\right.$
$\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A\geq 0(B\geq 0) \\A=B
\end{matrix}\right.$
2. Bất phương trình
$\sqrt{A}<B \left\{\begin{matrix}
A\geq 0 \\B>0
\\A<B^{2}
\end{matrix}\right.$
$\sqrt{A}\leq B \left\{\begin{matrix}
A\geq 0 \\B\geq 0
\\A\leq B^{2}
\end{matrix}\right.$
$\sqrt{A}< \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A\geq 0 \\A<B
\end{matrix}\right.$
$\sqrt{A}\leq \sqrt{B} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A\geq 0 \\A\leq B
\end{matrix}\right.$
VII. Các công thức về lượng giác
1. Định nghĩa giá trị lượng giác
$sin\alpha =\overline{OK}, cos\alpha =\overline{OH}, tan\alpha =\overline{AT}, cot\alpha =\overline{BS}$
2. Các công thức lượng giác cơ bản
a) $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha}$
b) $cot\alpha =\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$
c) $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$
d) $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha}$
e) $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha}$
f) $tan\alpha +cot\alpha =1$
3. Các giá trị lượng giác đặc biệt
4. Công thức cộng
+) cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb
+) sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
+) cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
+) sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa
+) $tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tana.tanb}$
+) $tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}$
5. Công thức nhân đôi
+) sin2a = 2sina.cosa
+) $cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a=2cos^{2}a-1=1-2sin^{2}a$
+) $tan2a=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$
6. Công thức hạ bậc
+) $sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$
+) $cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}$
+) $tan^{2}x=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$
7. Công thức nhân ba
+) $sin3a=3sina-4sin^{3}a$
+) $cos3a=4cos^{3}a-3cosa$
8. Công thức biến đổi tích thành tổng
+) $cosacosb=\frac{1}{2}\left [ cos(a-b)+cos(a+b) \right ]$
+) $sinasinb=\frac{1}{2}\left [ cos(a-b)-cos(a+b) \right ]$
+) $sinacosb=\frac{1}{2}\left [ sin(a-b)+sin(a+b) \right ]$
9. Công thức biến đổi tổng thành tích
+) $cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$
+) $cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$
+) $sina-sinb=2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$
+) $sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$
10. Cung liên kết: sin – bù, cos – đối, phụ – chéo, hơn kém $\pi$-tan, cot.
- Hai cung bù nhau: $\alpha$ và $\pi -\alpha$:
$sin(\pi -\alpha)=sin\alpha$
$cos(\pi -\alpha)=-cos\alpha$
$tan(\pi -\alpha)=-tan\alpha$
$cot(\pi -\alpha)=-cot\alpha$
- Hai cung đối nhau $\alpha $ và $-\alpha$:
$cos(-\alpha)=cos\alpha$
$sin(-\alpha)=-sin\alpha$
$tan(-\alpha)=-tan\alpha$
$cot(-\alpha)=-cot\alpha$
- Hai cung phụ nhau $\alpha $ và $\frac{\pi }{2} -\alpha$:
$sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha$
$cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha$
$tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cot\alpha$
$cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)=tan\alpha$
- Hai cung hơn kém $\pi:\alpha$ và $\alpha\pm \pi$:
$sin(\alpha \pm \pi)=-sin\alpha$
$cos(\alpha \pm \pi)=-cos\alpha$
$tan(\alpha \pm \pi)=tan\alpha$
$cot(\alpha \pm \pi)=cot\alpha$
- Hai cung hơn kém $\frac{\pi }{2} :\alpha$ và $\alpha+\frac{\pi}{2}$
$sin(\alpha +\frac{\pi}{2})=cos\alpha$
$cos(\alpha +\frac{\pi}{2})=-sin\alpha$
$tan(\alpha +\frac{\pi}{2})=-cot\alpha$
$cot(\alpha +\frac{\pi}{2})=-tan\alpha$
11. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo $tan\frac{x}{2}$
Nếu đặt $t=tan\frac{x}{2}$ thì:
+) $sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$
+) $cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
+) $tanx=\frac{2t}{1-t^{2}}$
12. Một số công thức khác
+) $sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})$
+) $sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}cos(x+\frac{\pi}{4})$
+) $cotx+tanx=\frac{2}{sin2x}$
+) $cotx-tanx=2cot2x$
+) $1\pm sin2x=(sinx\pm cosx)^{2}$
+) $sin^{4}x+cos^{4}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x=1-\frac{1}{2}sin^{2}2x$
+) $sin^{6}x+cos^{6}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)(sin^{4}x-sin^{2}xcos^{2}x+cos^{4}x)=1-\frac{3}{4}sin^{2}2x$
B. CÔNG THỨC TOÁN 10 – PHẦN HÌNH HỌC
I. Các công thức toán 10 về thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC, ký hiệu:
- a, b, c là độ dài 3 cạnh
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Ta có:
1. Định lí cô sin: $\left\{\begin{matrix}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA \\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accosB
\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC
\end{matrix}\right.$
2. Định lí sin: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$
3. Công thức tính độ dài trung tuyến:
$\left\{\begin{matrix}
m^{2}_{a}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4} \\ m^{2}_{b}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}
\\ m^{2}_{c}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}
\end{matrix}\right.$
II. Công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông
Định lí Py-ta-go: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
$AB^{2}=BH.BC, AC^{2}=CH.BC, AH^{2}=BH.CH$
AH.BC = AB.AC
$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}}$
III. Các công thức tính diện tích
*Tính diện tích tam giác thường:
+) $S=\frac{1}{2}ah_{a}= \frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}$ ($h_{a},h_{b},h_{c}$: độ dài 3 đường cao).
+) $S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2sinB}=\frac{1}{2}bcsinA$
+) $S=\frac{abc}{4R}$
+) S = p.r (r là bán kính đường tròn nội tiếp, $p=\frac{a+b+c}{2}$: nửa chu vi)
+) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Hê-rông)
*Tính diện tích tam giác vuông: $S=\frac{1}{2}$ x tích 2 cạnh góc vuông
*Tính diện tích tam giác đều cạnh a: $S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
*Tính diện tích hình vuông cạnh a: $S=a^{2}$
*Tính diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài x chiều rộng
*Tính diện tích hình bình hành: S = đáy x cao hoặc S = AB.AD.sinA
*Tính diện tích hình thoi: S = đáy x cao hoặc S = AB.AD.sinA hoặc $S=\frac{1}{2}$ x tích 2 đường chéo.
*Tính diện tích hình tròn: $S=\pi R^{2}$
IV. Công thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng xOy
1. Ứng dụng tích vô hướng của 2 véc tơ
Cho 3 điểm $A(x_{A};y_{A}); B(x_{B};y_{B}); C(x_{C};y_{C})$, ta có:
- Tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$
- Tọa độ trung điểm I của AB là $I(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})$
- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{c}}{3};\frac{y_{A}+y_{B}+y_{c}}{3})$
Cho các vecto $a'(x_{1},y_{1}),b'(x_{2},y_{2})$ và các điểm $A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})$, ta có:
$a’.b’=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$
$\overrightarrow{\left| a\right|}=\sqrt{x^{2}_{1}+y^{2}_{1}}$
$d=AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x^{2}_{1}+y^{2}_{1}}.\sqrt{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}}}$
2. Phương trình của đường thẳng
Cho $\vec{a}=(a_{1};a_{2})$ là vecto chỉ phương của d, $\vec{n}=(A;B)$ là vecto pháp tuyến của d.
Điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc d.
- Phương trình tham số của d: $x=x_{0}+a_{1}t$, $y=y_{0}+a_{2}t$.
- Phương trình chính tắc của d: $\frac{x-x_{0}}{a_{1}}=\frac{y-y_{0}}{a_{2}}$
- Phương trình tổng quát của d: $A(x-x_{0})+B(y+y_{0})=0$ hoặc Ax + By + C = 0
3. Khoảng cách
- Khoảng cách từ điểm $M(x_{0},y_{0})$ đến đường thẳng (d): Ax + By + C = 0:
$MH=\frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0:
$\frac{\left| C_{1}-C_{2} \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
4. Vị trí tương đối 2 đường thẳng
$(d_{1}): A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$
$(d_{2}): A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$
Ta có:
+) $(d_{1})\cap (d_{2})\neq \varnothing \Leftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}}\neq \frac{B_{1}}{B_{2}}$
+) $(d_{1})\equiv (d_{2}) \Leftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$
+) $(d_{1})//(d_{2})\Leftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq \frac{C_{1}}{C_{2}}$
+) $(d_{1})\perp (d_{2})\Leftrightarrow A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}$
5. Góc giữa 2 đường thẳng
$(d_{1}): A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$
$(d_{2}): A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$
$\alpha=(d_{1},d_{2}) $
Ta có: $cos\alpha =\frac{\left|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}_{1}+B^{2}_{1}}.\sqrt{A^{2}_{2}+B^{2}_{2}}}$
6. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1) và (d2)
$\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt{A^{2}_{1}+B^{2}_{1}}} = \pm \frac{A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt{A^{2}_{2}+B^{2}_{2}}}$ (góc nhọn lấy dấu “-“, góc tù lấy dấu “+”).
7. Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có phương trình như sau:
- Dạng 1: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
- Dạng 2: $x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0$
$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$. Điều kiện là $a^{2}+b^{2}-c>0$
Trên đây là toàn bộ công thức tổng hợp lại từ sách giáo khoa Toán lớp 10. Hi vọng với các công thức trên các em có thể dễ dàng xử lý và giải các bài tập Toán hơn.
